每日一题[1444]元素拆解

$\dfrac {1-2{\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2}{ {\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3+ {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2+ {\log_{15}}2 \cdot {\log_6}5}$ 的值为_______．

答案 $1$．

解析 记 $\lg 2=a$，$\lg 3=b$，原式为 $m$，则 $\lg 5=1-a$，有

$$\begin{split} m&=\dfrac{1-2\cdot \dfrac{1-a}{a+b}\cdot b\cdot \dfrac{a}{b+(1-a)}}{\dfrac{1-a}{a+b}\cdot b+b\cdot \dfrac{a}{b+(1-a)}+\dfrac{a}{b+(1-a)}\cdot \dfrac{1-a}{a+b}}\\ &=\dfrac{(a+b)(b+1-a)-2ab(1-a)}{b(1-a)(b+1-a)+ab(a+b)+a(1-a)}\\ &=\dfrac{(2b-1)a^2+(-2b+1)a+b^2+b}{(2b-1)a^2+(-2b+1)a+b^2+b}\\ &=1.\end{split}$$