每日一题[1438]复数的三角形式

已知复数 $z_1=\sin\theta+2{\rm i}$，$z_2=1+{\rm i}\cos\theta$，则 $\dfrac{14-\left|z_1+{\rm i}z_2\right|^2}{\left|z_1-{\rm i}z_2\right|}$ 的最小值为（ ）

A．$2$

B．$2\sqrt 2$

C．$2\sqrt 3$

D．前三个答案都不对

答案 B．

解析 根据题意，记题中代数式为 $m$，则

$$\begin{split} m&=\dfrac{14-|\sin \alpha-\cos\alpha+3{\rm i}|^2}{|\sin\alpha+\cos\alpha+{\rm i}|}\\ &=\dfrac{14-(\sin\alpha-\cos\alpha)^2-9}{\sqrt{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+1}}\\ &=\dfrac{4+2\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{2+2\sin\alpha\cos\alpha}}\\ &=\sqrt{2+\sin2\alpha}+\dfrac{2}{\sqrt{2+\sin2\alpha}}\\ &\geqslant 2\sqrt 2,\end{split}$$ 等号当 $\sin2\alpha=0$ 时取得，因此所求 $m$ 的最小值是 $2\sqrt 2$．