每日一题[1435]整体与分治

已知单位向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 的夹角为 $120^\circ$，$\left|x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2\right|=\sqrt 3$（$x,y\in\mathbb R$），则 $\left|x\overrightarrow e_1-y\overrightarrow e_2\right|$ 的取值范围是_______．

答案    $[1,3]$．

解析    题意即已知 $x^2+y^2-xy=3$，求 $m=x^2+y^2+xy$ 的取值范围．显然 $x,y$ 不同时为零，不妨设 $y\ne 0$，有 $$\dfrac m3=\dfrac{x^2+y^2+xy}{x^2+y^2-xy}=\dfrac{t^2+1+t}{t^2+1-t}=1+\dfrac{2t}{t^2+1-t},$$ 其中 $t\in\mathbb R$．而 $$\dfrac{2t}{t^2+1-t}=\begin{cases} 0,&t=0,\\ \dfrac{2}{t+\dfrac 1t-1},&t\ne 0,\end{cases}$$ 于是 $$1-\dfrac 23\leqslant \dfrac m3\leqslant 1+2,$$ 进而所求代数式的取值范围是 $\left[1,3\right]$．

另法    记 $\overrightarrow a=x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2$，$\overrightarrow b=x\overrightarrow e_1-y\overrightarrow e_2$，$m=\left|\overrightarrow b\right|$，则 $$2x\overrightarrow e_1=\overrightarrow a+\overrightarrow b,2y\overrightarrow e_2=\overrightarrow a-\overrightarrow b,$$ 而 $\overrightarrow e_1$ 与 $\overrightarrow e_2$ 的夹角为 $120^\circ$，于是 $$\dfrac{\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|}=-\dfrac 12,$$ 即 $$\dfrac {3-m^2}{\sqrt{(3+m^2)^2-12m^2\cos^2\theta}}=-\dfrac 12,$$ 其中 $\theta$ 为 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角．化简得 $$\cos^2\theta=\dfrac{-m^4+10m^2-9}{4m^2},$$ 从而由 $$0\leqslant \dfrac{-m^4+10m^2-9}{4m^2}\leqslant 1,$$ 解得所求代数式的取值范围是 $[1,3]$．