每日一题[1434]处理绝对值

已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$，并指出等号取得的条件．

解析    当 $abc=0$ 时，有

$$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=|a+b|+|b+c|+|c+a|,$$ 命题成立． 当 $abc\ne 0$ 时，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，只需要证明 $a\geqslant b\geqslant c>0$ 和 $a\geqslant b>0>c$ 的情形．当 $a\geqslant b\geqslant c>0$ 时，显然有 $$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=|a+b|+|b+c|+|c+a|,$$ 命题成立．当 $a\geqslant b>0>c$ 时，命题等价于 $$|c|+|a+b+c|\geqslant |b+c|+|c+a|.$$ 此时若 $a+b+c\geqslant 0$，则右边可能的取值为 $a+b+2c,a-b,b-a$，而左边取值为 $a+b$，命题成立．若 $a+b+c<0$，则不等式等价于 $$|c|\geqslant -c,$$ 命题成立． 综上所诉，命题得证，且取等条件为 $abc=0$ 或 $a,b,c$ 同号或同号的两个数和的绝对值小于第三个数的绝对值．