每日一题[1432]主动配均值

已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，若 $a^3+2b^2+\dfrac{10}3c$ 的最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$，则 $M+m=$ _______．

答案    $\dfrac{104}{27}$．

解析    

最大值    根据题意，有 $$0\leqslant a,b,c\leqslant 1,$$ 于是 $$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c\leqslant \dfrac{10}3a+\dfrac{10}3b+\dfrac{10}3c=\dfrac{10}3,$$ 等号当 $(a,b,c)=(0,0,1)$ 时取得，因此 $M=\dfrac{10}3$．

最小值    根据题意，有 $$\begin{split} a^3+2b^2+\dfrac{10}3c&=a^3+p^3+p^3+2b^2+2q^2+\dfrac{10}3c-2p^3-2q^2\\ &\geqslant 3p^2a+4qb+\dfrac{10}3c-2p^3-2q^2,\end{split}$$ 令 $$p+q=1,3p^2=4q,$$ 可得 $$a^3+2b^2+\dfrac{10}3c\geqslant \dfrac 43(a+b+c)+2c-\dfrac{22}{27}\geqslant \dfrac{14}{27},$$ 等号当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 23,\dfrac 13,0\right)$ 时取得，因此 $m=\dfrac{14}{27}$． 综上所述，所求 $M+m=\dfrac{104}{27}$．