每日一题[1419]移形换影

设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）右支上一动点 $P$，过 $P$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为 $A$ 与 $B$，若 $A,B$ 始终在第一、四象限内，$O$ 为坐标原点，则此双曲线的离心率 $e$ 的取值范围为（       ）

A．$\left(1,\sqrt 3\right]$

B．$(1,3]$

C．$\left(1,\sqrt 2\right]$

D．$(1,2]$

答案    C．

解析    根据题意，过 $O$ 且与双曲线 $C$ 的渐近线垂直的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相离，也即 $$l:ax-by=0$$ 与双曲线 $C$ 相离．

情形一     $a=b$．此时直线 $l$ 为双曲线的渐近线，符合题意．

情形二     $a\ne b$．根据直线与双曲线联立的等效判别式，有 $$\Delta_x=0-(a^4-b^4)<0,$$ 也即 $$a>b.$$ 综上所述，题意即 $a\geqslant b$，对应离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(1,\sqrt 2\right]$．