每日一题[1418]构造递推

已知 $x+y+z=0$，求证：$\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\cdot \dfrac{x^3+y^3+z^3}3$．

解法一    记 $a_n=x^n+y^n+z^n$，其中 $n\in\mathbb N$，则

$$a_{n+3}=\sum_{\rm cyc}x\cdot a_{n+2}-\sum_{\rm cyc}xy\cdot a_{n+1}+\sum_{\rm cyc}xyz\cdot a_n.$$ 记 $\sum_{\rm cyc}xy=p$，$\sum_{\rm cyc}xyz=q$，则 $$a_{n+3}=-pa_{n+1}+qa_n,$$ 其中 $a_0=3$，$a_1=0$，$a_2=-2p$．进而 $$\begin{array} {c|cccccc}\hline n&0&1&2&3&4&5\\ \hline a_n&3&0&-2p&3q&2p^2&-5pq\\ \hline\end{array}$$ 于是 $$\dfrac{a_5}5=-p\cdot q=\dfrac{a_2}2\cdot \dfrac{a_3}3,$$ 命题得证．

解法二    将 $z=-x-y$ 代入，有

$$LHS=-x^4y-2x^3y^2-2x^2y^3-xy^4=-xy(x+y)(x^2+xy+y^2),$$ 而 $$RHS=(x^2+xy+y^2)\cdot (-xy(x+y)),$$ 因此命题得证．