已知 x+y+z=0,求证:x5+y5+z55=x2+y2+z22⋅x3+y3+z33.
解法一 记 an=xn+yn+zn,其中 n∈N,则an+3=∑cycx⋅an+2−∑cycxy⋅an+1+∑cycxyz⋅an.
记 ∑cycxy=p,∑cycxyz=q,则an+3=−pan+1+qan,
其中 a0=3,a1=0,a2=−2p.进而n012345an30−2p3q2p2−5pq
于是a55=−p⋅q=a22⋅a33,
命题得证.
解法二 将 z=−x−y 代入,有LHS=−x4y−2x3y2−2x2y3−xy4=−xy(x+y)(x2+xy+y2),
而RHS=(x2+xy+y2)⋅(−xy(x+y)),
因此命题得证.