每日一题[1418]构造递推

已知 x+y+z=0,求证:x5+y5+z55=x2+y2+z22x3+y3+z33

解法一    记 an=xn+yn+zn,其中 nN,则an+3=cycxan+2cycxyan+1+cycxyzan.

cycxy=pcycxyz=q,则an+3=pan+1+qan,
其中 a0=3a1=0a2=2p.进而n012345an302p3q2p25pq
于是a55=pq=a22a33,
命题得证.

解法二    将 z=xy 代入,有LHS=x4y2x3y22x2y3xy4=xy(x+y)(x2+xy+y2),

RHS=(x2+xy+y2)(xy(x+y)),
因此命题得证.

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