如图，正四面体 ABCD 中，点 P,Q,R 分别在棱 AB,AD,AC 上，且 AQ=QD，APPB=CRRA=12，分别记二面角 A−PQ−R，A−PR−Q，A−QR−P 的平面角为 α,β,γ，则（ ）
A．β>γ>α
B．γ>β>α
C．α>γ>β
D．α>β>γ
答案 D．
解析 记 →AB,→AC,→AD 分别为 a,b,c，且|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=b⋅c=c⋅a=12.
易得 APR,ARQ,AQP 的法向量分别为n1=a+b−3c,n2=b+c−3a,n3=c+a−3b,
由于→PR=23b−13a,→RQ=12c−23b,
因此 PRQ 的法向量 n=xa+yb+zc 满足{(xa+yb+zc)⋅(23b−13a)=0,(xa+yb+zc)⋅(12c−23b)=0,
即{3y+z=0,x+5y−2z=0,
于是可取n=11a−b+3c,
因此n1⋅n=11a2−b2−9c2+10a⋅b+6b⋅c−30c⋅a=−6,n2⋅n=−33a2−b2+3c2+14a⋅b+2b⋅c+2c⋅a=−22,n3⋅n=11a2+3b2+3c2−34a⋅b−10b⋅c+14c⋅a=2,
考虑到 |n1|=|n2|=|n3|，以及 γ 必然为锐角，于是α>π2>β>γ.