每日一题[1407]二进制

集合 $A=\left\{2^a+2^b+2^c\mid a,b,c\in\mathbb N\right\}$，集合 $B$ 是 $A$ 的子集，且集合 $B$ 恰好由 $n$ 个连续的自然数构成，则 $n$ 的最大值是____．

答案    $12$．

解析    当 $a,b,c$ 两两不等时，$2^a+2^b+2^c$ 的二进制表示包含三个 $1$；当 $a,b,c$ 中有两个数相等且它们均比第三个数小 $1$ 时，$2^a+2^b+2^c$ 的二进制表示包含一个 $1$，且至少在 $2^2$ 位；其他情形下，$2^a+2^b+2^c$ 的二进制表示包含两个 $1$．进而可以构造二进制下的 $12$ 个连续自然数： $$11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110.$$ 接下来证明 $n$ 的最大值就是 $12$．否则这 $n$ 个连续的自然数中最小数至少为 $10000$，进而在后三位中不能出现 $111$，而从 $000$ 到 $110$ 只有 $6$ 个数，无法取得超过 $12$ 个连续自然数，矛盾． 综上所述 $n$ 的最大值为 $12$．