每日一题[1405]分段放缩

已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\cos x+\tan x>2x$．

解析    容易证明

$$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\sin x+\tan x>2x,$$ 于是当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right]$ 时，有 $$\cos x+\tan x\geqslant \sin x+\tan x>2x,$$ 命题成立．当 $x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，利用 $y=\cos x$ 在 $x=\dfrac{\pi}4$ 和 $x=\dfrac{\pi}2$ 之间的割线，有 $$\cos x>-\dfrac{2\sqrt 2}{\pi}\left(x-\dfrac{\pi}2\right),$$ 利用 $y=\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}4$ 处的展开，有 $$\tan x>1+2\left(x-\dfrac{\pi}4\right)+2\left(x-\dfrac{\pi}4\right)^2,$$ 于是当 $x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $$\cos x+\tan x-2x>1+\sqrt 2-\dfrac{\pi}2+\dfrac{\pi^2}8-\left(\dfrac{2\sqrt 2}{\pi}+\pi\right)x+2x^2,$$ 右侧对应的 $$\Delta =\dfrac{8}{\pi^2}+4\pi-4\sqrt 2-8<0,$$ 因此原命题得证．