每日一题[1390]余弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，且满足 $(a+b)\sin\dfrac C2=12$，$(a-b)\cos\dfrac C2=5$，则 $c=$_______．

答案    $13$．

解析    根据题意，有

$$\left((a+b)\sin\dfrac C2\right)^2+\left((a-b)\cos\dfrac C2\right)^2=12^2+5^2,$$ 即 $$a^2+b^2+2ab\left(\sin^2\dfrac C2-\cos^2\dfrac C2\right)=13^2,$$ 即 $$a^2+b^2-2ab\cos C=13^2,$$ 根据余弦定理可得 $$c=13.$$

备注    事实上，两式相除可得

$$\dfrac{a+b}{a-b}\cdot \tan\dfrac C2=\dfrac {12}{5},$$ 根据正切定理，有 $$\dfrac{\tan\dfrac{A+B}2}{\tan\dfrac{A-B}2}\cdot \tan\dfrac C2=\dfrac {12}5,$$ 于是 $$\tan\dfrac{A-B}2=\dfrac 5{12},$$ 因此存在符合题意的三角形．