每日一题[1380]纯粹与完备

过曲线 F:x2+2y22=0 和曲线 G:2x2y22=0 的交点并且被 y 轴截得弦长为 13 的圆锥曲线的方程为_______.

答案    $19x^2+8y^2-26=0$.

解析    设所求圆锥曲线方程为H:ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0,

cxy+dx+ey=ax2by2f,
由于曲线 F 与曲线 G 的交点形如 (m,±n)(m,±n),于是可得c=d=e=0,
进而可知所求圆锥曲线 H 是唯一的.设H:(x2+2y22)+λ(2x2y22)=0,
x=0,有(2λ)y222λ=0,
于是根据已知,有4(2λ)(2+2λ)|2λ|=13,
解得λ=67,
进而可得所求圆锥曲线方程为19x2+8y226=0.

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