过曲线 F:x2+2y2−2=0 和曲线 G:2x2−y2−2=0 的交点并且被 y 轴截得弦长为 √13 的圆锥曲线的方程为_______.
答案 $19x^2+8y^2-26=0$.
解析 设所求圆锥曲线方程为H:ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0,
即cxy+dx+ey=−ax2−by2−f,
由于曲线 F 与曲线 G 的交点形如 (m,±n) 和 (−m,±n),于是可得c=d=e=0,
进而可知所求圆锥曲线 H 是唯一的.设H:(x2+2y2−2)+λ(2x2−y2−2)=0,
令 x=0,有(2−λ)y2−2−2λ=0,
于是根据已知,有√4(2−λ)(2+2λ)|2−λ|=√13,
解得λ=67,
进而可得所求圆锥曲线方程为19x2+8y2−26=0.