每日一题[1379]积化和差

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $\dfrac{\pi}9$，前 $8$ 项和为 $6\pi$，记 $\tan\dfrac{\pi}9=k$，则数列 $\{\tan a_n\cdot\tan a_{n+1}\}$ 的前 $7$ 项和为（       ）

A．$\dfrac{7k^2-3}{k^2-1}$

B．$\dfrac{3-7k^2}{k^2-1}$

C．$\dfrac{11-7k^2}{k^2-1}$

D．$\dfrac{7k^2-11}{k^2-1}$

答案    C．

解析    根据两角差的正切公式，有

$$\tan(a_{n+1}-a_n)=\dfrac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{1+\tan a_n\tan a_{n+1}},$$ 于是 $$\tan a_n\tan a_{n+1}=\dfrac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{k}-1,$$ 进而所求前 $7$ 项和 $$\begin{split}S&=\dfrac{\tan a_8-\tan a_1}k-7\\ &=\dfrac{\tan(a_8-a_1)\cdot (1+\tan a_8\tan a_1)}{k}-7\\ &=\dfrac{\tan\dfrac{7\pi}9\cdot \left(1+\tan \left(\dfrac{6\pi}4-a_1\right)\tan a_1\right)}{k}-7\\ &=\dfrac{-2\tan\dfrac{2\pi}9}{k}-7\\ &=\dfrac{4}{k^2-1}-7\\ &=\dfrac{11-7k^2}{k^2-1}.\end{split}$$