每日一题[1378]虚不动点

已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_n+\dfrac{1}{x_{n+1}}=2\cos\dfrac{133\pi}{355}$，则使得 $x_n=1$ 的最小正整数为_______．

答案    $355$．

解析    利用不动点求通项．题中递推公式对应的不动点方程为

$$x^2-2\cos\dfrac{133\pi}{355}x+1=0,$$ 于是不动点为 $$x=\cos\dfrac{133\pi}{355}\pm {\rm i}\sin\dfrac{133\pi}{355},$$ 记这两个不动点分别为 $z,\overline z$，由 $$x_{n+1}=\dfrac{1}{(z+\overline z)-x_n},$$ 可得 $$\dfrac{x_{n+1}-z}{x_{n+1}-\overline z}=\dfrac{z}{\overline z}\cdot \dfrac{x_n-z}{x_n-\overline z},$$ 因此 $$\dfrac{x_n-z}{x_n-\overline z}=\left(\dfrac z{\overline z}\right)^n\cdot \dfrac{x_0-z}{x_0-\overline z},$$ 而 $$x_n=1\iff \dfrac{x_n-z}{x_n-\overline z}=\dfrac{1-z}{1-\overline z},$$ 于是问题即求使得 $\left(\dfrac z{\overline z}\right)^n$ 为 $1$ 的最小正整数 $n$．考虑到 $$\left(\dfrac z{\overline z}\right)^n=z^{2n}=\left(\dfrac{266n\pi}{355}:1\right),$$ 于是 $$\dfrac{266n\pi}{355}=2k\pi,k\in\mathbb Z,$$ 即 $$n=\dfrac{355k}{133},k\in\mathbb Z,$$ 因此符合题意的最小正整数为 $355$．