每日一题[1372]单位化

已知实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases} x-5y+12\leqslant 0,\\ x+y\geqslant 0,\\ x-3\leqslant 0,\end{cases}$ 则 $z=\dfrac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$

B．$\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}2\right]\cup \left[\dfrac{3\sqrt 2}2,+\infty\right)$

C．$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$

D．$[-1,1]$

答案    A．

解法一    如图，$P(x,y)$ 的可行域为 $\triangle ABC$ 及其内部，其中 $A(3,3)$，$B(-2,2)$．

当 $x=0$ 时，$y\geqslant \dfrac{12}5$，于是 $z$ 的取值范围是 $\{1\}$．令

$$f(k)=\dfrac{2+k}{\sqrt{1+k^2}},$$ 由于当 $x>0$ 时，$\dfrac yx$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$，当 $x<0$ 时，$\dfrac yx$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]$，而 $$z=\begin{cases} f\left(\dfrac yx\right),&x>0,\\ -f\left(\dfrac yx\right),&x<0,\end{cases}$$ 考虑到 $$f'(k)=\dfrac{1-2k}{\sqrt{(1+k^2)^3}},$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccccc}\hline k&-\infty&\left(-\infty,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)&+\infty \\ \hline f(k)&-1&\nearrow&\sqrt 5&\searrow&1\\ \hline \end{array}$$ 结合 $$f(-1)=\dfrac{\sqrt 2}2,f(1)=\dfrac{3\sqrt 2}2,$$ 有 $z$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$．

解法二   注意到 $z$ 的齐次性，不妨设 $(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$，其中 $\theta\in \left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4\right]$，于是

$$z(\theta)=\sqrt 5\sin\left(\theta+\arctan 2\right),$$ 在 $\theta\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4\right]$ 上单调递减，于是所求取值范围为 $\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$．