若正实数 $x,y$ 满足 $x^3+y^3=(4x-5y)y$，则 $y$ 的最大值为_______．
答案 $\dfrac 13$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} y^3+5y^2&=x(4y-x^2)\\ &=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2x^2(4y-x^2)(4y-x^2)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{8y}3\right)^3},\end{split}\]于是\[\left(y^3+5y^2\right)^2\leqslant \dfrac{256y^3}{27},\]即\[y^3+10y^2+25y-\dfrac{256}{27}\leqslant 0,\]解得\[0<y\leqslant \dfrac 13.\]