每日一题[1370]消元大法

若正实数 $x,y$ 满足 $x^3+y^3=(4x-5y)y$，则 $y$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac 13$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} y^3+5y^2&=x(4y-x^2)\\ &=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2x^2(4y-x^2)(4y-x^2)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{8y}3\right)^3},\end{split}$$ 于是 $$\left(y^3+5y^2\right)^2\leqslant \dfrac{256y^3}{27},$$ 即 $$y^3+10y^2+25y-\dfrac{256}{27}\leqslant 0,$$ 解得 $$0<y\leqslant \dfrac 13.$$