每日一题[1364]抓不变量

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 为 $AC$ 的中点且 $BD=3$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为_______．

答案    $6$．

解法一（抓定长）      设 $AB=2x$，$BC=2y$，则根据中线长定理，有

$$(2BD)^2+AC^2=2(AB^2+BC^2),$$ 从而 $$x^2+2y^2=9,$$ 而 $\triangle ABC$ 的面积 $$S=y\sqrt{4x^2-y^2}=3\sqrt{y^2(4-y^2)}\leqslant 6,$$ 等号当 $y=\sqrt 2$ 时取得，因此所求最大值为 $6$．  

解法二（抓定比）    根据题意，$\triangle ABC$ 的面积为 $\triangle ABD$ 面积的 $2$ 倍．视 $B,D$ 为定点，则根据阿波罗尼斯圆的定义，$A$ 的轨迹是以 $O$ 为圆心，$r$ 为半径的圆，如图．

其中

$$\begin{cases} \dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OD}=2,\\ OB-OD=BD=3,\end{cases}$$ 解得 $$r=2,$$ 因此 $\triangle ABD$ 面积的最大值为 $3$，所求面积的最大值为 $6$．