在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 为 $AC$ 的中点且 $BD=3$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为_______．
答案 $6$．
解法一（抓定长） 设 $AB=2x$，$BC=2y$，则根据中线长定理，有\[(2BD)^2+AC^2=2(AB^2+BC^2),\]从而\[x^2+2y^2=9,\]而 $\triangle ABC$ 的面积\[S=y\sqrt{4x^2-y^2}=3\sqrt{y^2(4-y^2)}\leqslant 6,\]等号当 $y=\sqrt 2$ 时取得，因此所求最大值为 $6$．
解法二（抓定比） 根据题意，$\triangle ABC$ 的面积为 $\triangle ABD$ 面积的 $2$ 倍．视 $B,D$ 为定点，则根据阿波罗尼斯圆的定义，$A$ 的轨迹是以 $O$ 为圆心，$r$ 为半径的圆，如图．
其中\[\begin{cases} \dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OD}=2,\\ OB-OD=BD=3,\end{cases}\]解得\[r=2,\]因此 $\triangle ABD$ 面积的最大值为 $3$，所求面积的最大值为 $6$．