每日一题[1357]重组计划

使得函数 $y=\sqrt{(x-1)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(x-2)^2}$ 取最小值的 $x$ 的值是_______．

答案    $\dfrac{11}8$．

解析    题中函数即

$$y=\sqrt{2x^2-10x+17}+\sqrt{2x^2+2x+13},$$ 也即 $$y=\sqrt 2\cdot \left(\sqrt{\left(x-\dfrac 52\right)^2+\dfrac 94}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\dfrac{25}4}\right),$$ 设 $A\left(\dfrac 52,\dfrac 32\right)$，$B\left(-\dfrac 12,-\dfrac 52\right)$，则当 $P(x,0)$ 在线段 $AB$ 上时，$y$ 取得最小值，利用截距坐标公式，可得此时 $$x=\dfrac{\dfrac 52\cdot \left(-\dfrac 52\right)-\left(-\dfrac 12\right)\cdot \dfrac 32}{-\dfrac 52-\dfrac 32}=\dfrac{11}8.$$