每日一题[1355]根系关系

已知函数 $f(x)=2ax^2+3b$（$a,b\in\mathbb R$）满足对任意 $x\in [-1,1]$，都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立，则 $ab$ 的最大值是______．

答案    $\dfrac{1}{24}$．

解法一    题中条件等价于 $$\begin{cases} |2a+3b|\leqslant 1,\\ |3b|\leqslant 1,\end{cases}$$ 先考虑 $a,b$ 同号的情形（因为若此情形下有解，那么当 $a,b$ 不同号时，或者无解或者 $ab<0$，不影响求解最大值），根据对称性不妨设 $a,b\geqslant 0$，此时有 $$1\geqslant 2a+3b\geqslant 2\sqrt{6ab},$$ 于是 $$ab\leqslant \dfrac{1}{24},$$ 等号当 $2a=3b=\dfrac 12$ 时可以取得，因此 $a,b$ 的最大值为 $\dfrac{1}{24}$．

解法二    根据题意，有 $$\begin{cases} f(1)=2a+3b,\\ f(0)=3b,\end{cases}$$ 于是 $$ab=\dfrac{f(1)-f(0)}2\cdot \dfrac{f(0)}3\leqslant \dfrac{1}{24}\cdot f^2(1)\leqslant \dfrac{1}{24},$$ 等号当 $f(1)=0$，$f(0)=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{1}{24}$．