已知函数 f(x)=2ax2+3b(a,b∈R)满足对任意 x∈[−1,1],都有 |f(x)|⩽1 成立,则 ab 的最大值是______.
答案 124.
解法一 题中条件等价于{|2a+3b|⩽1,|3b|⩽1,
先考虑 a,b 同号的情形(因为若此情形下有解,那么当 a,b 不同号时,或者无解或者 ab<0,不影响求解最大值),根据对称性不妨设 a,b⩾0,此时有1⩾2a+3b⩾2√6ab,
于是ab⩽124,
等号当 2a=3b=12 时可以取得,因此 a,b 的最大值为 124.
解法二 根据题意,有{f(1)=2a+3b,f(0)=3b,
于是ab=f(1)−f(0)2⋅f(0)3⩽124⋅f2(1)⩽124,
等号当 f(1)=0,f(0)=12 时取得,因此所求最大值为 124.