已知函数 $f(x)=2ax^2+3b$（$a,b\in\mathbb R$）满足对任意 $x\in [-1,1]$，都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立，则 $ab$ 的最大值是______．
答案 $\dfrac{1}{24}$．
解法一 题中条件等价于\[\begin{cases} |2a+3b|\leqslant 1,\\ |3b|\leqslant 1,\end{cases}\]先考虑 $a,b$ 同号的情形（因为若此情形下有解，那么当 $a,b$ 不同号时，或者无解或者 $ab<0$，不影响求解最大值），根据对称性不妨设 $a,b\geqslant 0$，此时有\[1\geqslant 2a+3b\geqslant 2\sqrt{6ab},\]于是\[ab\leqslant \dfrac{1}{24},\]等号当 $2a=3b=\dfrac 12$ 时可以取得，因此 $a,b$ 的最大值为 $\dfrac{1}{24}$．
解法二 根据题意，有\[\begin{cases} f(1)=2a+3b,\\ f(0)=3b,\end{cases}\]于是\[ab=\dfrac{f(1)-f(0)}2\cdot \dfrac{f(0)}3\leqslant \dfrac{1}{24}\cdot f^2(1)\leqslant \dfrac{1}{24},\]等号当 $f(1)=0$，$f(0)=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{1}{24}$．