每日一题[1355]根系关系

已知函数 f(x)=2ax2+3ba,bR)满足对任意 x[1,1],都有 |f(x)|1 成立,则 ab 的最大值是______.

答案    124

解法一    题中条件等价于{|2a+3b|1,|3b|1,

先考虑 a,b 同号的情形(因为若此情形下有解,那么当 a,b 不同号时,或者无解或者 ab<0,不影响求解最大值),根据对称性不妨设 a,b0,此时有12a+3b26ab,
于是ab124,
等号当 2a=3b=12 时可以取得,因此 a,b 的最大值为 124

解法二    根据题意,有{f(1)=2a+3b,f(0)=3b,

于是ab=f(1)f(0)2f(0)3124f2(1)124,
等号当 f(1)=0f(0)=12 时取得,因此所求最大值为 124

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