每日一题[1351]论证与构造

x1,x2,x3,x4,x5,x61,2,3,4,5,6 的一个排列,则S=|x1x2|+|x2x3|+|x3x4|+|x4x5|+|x5x6|+|x6x1|的最小值为_______;S 的最大值为_______.

答案    1018

解析    最小值    设 xi 最大,xj 最小,不妨设 i<j,则S=|xixi+1|++|xj1xj|+|xjxj+1|++|xi1xi|2|xixj|=10,例如若 x3 最大,x5 最小,则将 S 改写为S=|x3x4|+|x4x5|+|x5x6|+|x6x1|+|x1x2|+|x2x3|,再应用绝对值不等式.由于等号当题中排列为 6,5,4,3,2,1 时可以取得,因此所求最小值为 10

最大值    考虑 S 的各个绝对值“展开”后为 12 个数前面添上正负号(6 个正号和 6 个负号)后的和,于是S2(4+5+6)2(1+2+3)=18,等号当题中排列为 6,1,5,2,4,3 时取得,因此所求最大值为 18

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