若 x1,x2,x3,x4,x5,x6 是 1,2,3,4,5,6 的一个排列,则S=|x1−x2|+|x2−x3|+|x3−x4|+|x4−x5|+|x5−x6|+|x6−x1|的最小值为_______;S 的最大值为_______.
答案 10;18.
解析 最小值 设 xi 最大,xj 最小,不妨设 i<j,则S=|xi−xi+1|+⋯+|xj−1−xj|⏟+|xj−xj+1|+⋯+|xi−1−xi|⏟⩾2|xi−xj|=10,例如若 x3 最大,x5 最小,则将 S 改写为S=|x3−x4|+|x4−x5|⏟+|x5−x6|+|x6−x1|+|x1−x2|+|x2−x3|⏟,再应用绝对值不等式.由于等号当题中排列为 6,5,4,3,2,1 时可以取得,因此所求最小值为 10.
最大值 考虑 S 的各个绝对值“展开”后为 12 个数前面添上正负号(6 个正号和 6 个负号)后的和,于是S⩽2(4+5+6)−2(1+2+3)=18,等号当题中排列为 6,1,5,2,4,3 时取得,因此所求最大值为 18.