每日一题[1348]齐次消元

已知 $a,b,c\in\mathbb R^+$，解方程组

$$\begin{cases}ca=20(b+c),\\ bc=5(a+b),\\ ab=6(c+a).\end{cases}$$

答案    $(30,10,20)$．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} \dfrac{ca}{bc}=\dfrac{20}{5}\cdot \dfrac{b+c}{a+b},\\ \dfrac{ca}{ab}=\dfrac{20}{6}\cdot \dfrac{b+c}{c+a},\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} x=4\cdot \dfrac{1+y}{x+1},\\ y=\dfrac{10}3\cdot \dfrac{1+y}{x+y},\end{cases}$$ 其中 $x=\dfrac ab$，$y=\dfrac cb$，$x,y>0$．整理得 $$\begin{cases} y=\dfrac{x^2+x-4}4,\\ 3y(y+x)=10(1+y),\end{cases}$$ 代入消元，可得 $$(x-3)(3x^3+27x^2+32x-16)=0,$$ 由 $y>0$ 可得 $x>1$，于是 $$x=3,$$ 进而 $$y=2,$$ 代入原方程组，可得 $$b=10,$$ 因此所求解为 $(a,b,c)=(30,10,20)$．