每日一题[1339]不动点

若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+{\rm e}^x-x}}}={\rm e}^x-x$ 有实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $[0,+\infty)$．

解析    即函数

$$f(x)=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt {a+x}}}-x$$ 在 $[1,+\infty)$ 上有实数解．注意到 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$，于是只需要函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上存在非负函数值．

情形一     $f(1)\geqslant 0$，即

$$\sqrt{a+\sqrt {a+\sqrt{a+1}}}\geqslant 1,$$ 解得 $a\geqslant 0$，符合题意．

情形二 $f(1)<0$，即 $a<0$．此时在 $x\in [1,+\infty)$ 时有

$$\sqrt{a+x}<x,$$ 因此在 $[1,+\infty)$ 上，有 $f(x)<0$，不符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty)$．