每日一题[1330]对称换元

解方程组

$$\begin{cases} x^3+y^3=5,\\ x^2+y^2=3.\end{cases}$$

解析    设 $x+y=u$，$xy=v$，则

$$\begin{cases} u^3-3uv=5,\\ u^2-2v=3,\end{cases}$$ 于是 $$v=\dfrac{u^3-5}{3u}=\dfrac{u^2-3}2,$$ 从而 $$u^3-9u+10=0,$$ 也即 $$(u-2)(u^2+2u-5)=0,$$ 解得 $$(u,v)=\left(2,\dfrac 12\right),\left(-1+\sqrt 6,2-\sqrt 6\right),\left(-1-\sqrt 6,2+\sqrt 6\right),$$ 于是 $x,y$ 是关于 $t$ 的方程 $$t^2-ut+v=0$$ 的解．