每日一题[1324]江山快手

求证：$\dfrac{\ln^2x+3\ln x+3}{x^2}>\dfrac{3}{{\rm e}^x}$．

解析     当 $x\geqslant {\rm e}$ 时，有 $$\dfrac{\ln x}{x}\leqslant \dfrac{1}{\rm e}<\dfrac 12,$$ 于是 $$x^2<{\rm e}^x,$$ 因此原不等式成立．下面考虑 $0<x<{\rm e}$ 时，设 $$f(x)=\dfrac{\ln ^2x+3\ln x+3}{x},g(x)=\dfrac{3x}{{\rm e}^x},$$ 则 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=-\dfrac{\ln x\cdot (\ln x+1)}{x^2},$$ 而 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{3(1-x)}{{\rm e}^x},$$ 于是 $$f(x)>\min \left\{f\left(\dfrac{1}{\rm e}\right),f({\rm e})\right\}=\dfrac 7{\rm e}>\dfrac{3}{\rm e}= g(1)\geqslant g(x),$$ 因此不等式仍然成立． 综上所述，原不等式成立．