每日一题[1315]丢兵弃甲

设非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{12}$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^{12}x_i=1$，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^9x_ix_{i+1}x_{i+2}x_{i+3}$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac 1{256}$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} \sum_{i=1}^9x_ix_{i+1}x_{i+2}x_{i+3}&\leqslant (x_1+x_5+x_9)(x_2+x_6+x_{10})(x_3+x_7+x_{11})(x_4+x_8+x_{12})\\ &\leqslant \left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{12}}{4}\right)^4\\ &=\dfrac{1}{256},\end{split}$$ 等号当 $x_1=x_2=x_3=x_4=\dfrac 14$ 时可以取得，因此所求最大值为 $\dfrac 1{256}$．