每日一题[1314]宏观

函数 $f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\cdots+\dfrac{x+2018}{x+2019}$ 的图像的对称中心为_______．

答案    $(-1010,2019)$．

解析    考虑定义域为 $$\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne -1,-2,\cdots,-2019\},$$ 关于 $x=-1010$ 对称，于是对称中心（如果存在）的横坐标必然为 $-1010$． 考虑到 $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=2019,$$ 于是对称中心（如果存在）的纵坐标必然为 $2019$． 容易验证 $(-1010,2019)$ 为题中函数的对称中心，因此 $(-1010,2019)$ 为所求．