每日一题[1312]狭缝求生

已知函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$（$a,b\in\mathbb Z$）且满足 $\{x\mid f(x)=0\}=\{x\mid f(f(x))=0\}$，则符合题意的整数对 $(a,b)$ 个数为_______．

答案    $7$．

解析    根据题意，由于 $\{x\mid f(x)=0\}$ 不可能为空集，于是 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的零点，于是

$$b=0.$$ 此时 $$f(x)=a\sin x,f(f(x))=a\sin (a\sin x),$$ 因此关于 $x$ 的方程 $$a\sin x=k\pi,k\in\mathbb Z^{\ast}$$ 无解．因此符合题意的 $a$ 有 $-3,-2,-1,0,1,2,3$，所求的整数对个数为 $7$．