每日一题[1299]根轴

已知直线 $l:y=x+t$ 和圆 $C:x^2+(y-2)^2=8$，若存在定点 $M$，使得从 $l$ 上任意一点 $P$ 引圆 $C$ 的一条切线 $PQ$（$Q$ 为切点），均有 $|PQ|=|PM|$，则实数 $t$ 的取值范围是_______．

答案    $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．

解析    设 $M(a,b)$，根据题意，直线 $l$ 为圆 $C$ 与点圆 $M:(x-a)^2+(y-b)^2=0$ 的等圆幂线，即根轴．而圆 $C$ 与点圆形成的根轴 $l$ 与圆 $C$ 相离或相切，因此

$$\dfrac{|t-2|}{\sqrt 2}\geqslant 2\sqrt 2,$$ 解得 $$t\leqslant -2\lor t\geqslant 6.$$ 另一方面，当点 $M$ 在过 $C$ 与直线 $l$ 垂直的直线 $l'$ 上运动时，可以使得上述的 $t$ 均可取得．因此实数 $t$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．

备注    也可以代数计算，根轴方程为

$$2ax+(2b-4)y-(a^2+b^2+4)=0,$$ 与 $$x-y+t=0$$ 对比可得 $$\begin{cases} a=-b+2,\\ t=-\dfrac{a^2+b^2+4}{2a},\end{cases}$$ 于是 $$t=2-\left(a+\dfrac 4a\right),$$ 亦可得实数 $t$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．