每日一题[1294]论证与构造

已知无穷正实数数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_{i+1}<x_i$（$i=0,1,2,\cdots$）．

1、求证：对任意符合题意的数列 $\{x_n\}$，均存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant 3.999$．

2、求证：存在符合题意的 $\{x_n\}$ 使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}<4$．

解析

1、根据柯西不等式，有 $$\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant \dfrac{(1+x_1+x_2+\cdots x_{n-1})^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n},$$ 记 $S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n$，则 $$\begin{split}\dfrac{(1+x_1+x_2+\cdots x_{n-1})^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n}&=\dfrac{(S_n+1-x_n)^2}{S_n}\\ &=\dfrac{S_n^2+2(1-x_n)S_n+(1-x_n)^2}{S_n}\\ &=S_n+\dfrac{(1-x_n)^2}{S_n}+2(1-x_n)\\ &\geqslant 4-4x_n.\end{split}$$

情形一    存在 $\varepsilon >0$，对任意 $k\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $x_k\geqslant \varepsilon$，此时有 $$\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}>x_0^2+x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2\geqslant n\varepsilon^2,$$ 此时取 $n=\left[\dfrac{3.999}{\varepsilon^2}\right]+1$ 即可．

情形二    对任意 $\varepsilon >0$，均存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $x_n<\varepsilon$．此时取 $\varepsilon=\dfrac{0.0001}{4}$，则对应的 $n$ 符合要求． 综上所述，命题得证．

2、取 $x_k=\dfrac{1}{2^k}$（$k=1,2,\cdots$），则 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{x_{k-1}^2}{x_k}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-2}}=4\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)<4,$$ 因此命题成立．