每日一题[1292]追本溯源

数列 $\{a_n\}$ 的定义如下：$a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $a_n=\begin{cases} a_{\frac n2}+1,& 2\mid n,\\ \dfrac{1}{a_{n-1}},&2\nmid n,\end{cases}$ 已知 $a_m=\dfrac{30}{19}$，则正整数 $m$ 的值为_______．

答案    $238$．

解析    注意到数列递推时每次的计算均为加 $1$ 或者取倒数，于是任何一项都可以写成只包含这两种计算的形式，如 $$a_6=1+a_3=1+\dfrac{1}{a_2}=1+\dfrac{1}{1+a_1}=1+\dfrac{1}{1+1}=\dfrac 32,$$ 而 $$\begin{split}\dfrac {30}{19}&=1+\dfrac{11}{19}\\ &=\cdots \\ &=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac {1}{1+1+\dfrac {1}{1+\dfrac 1{1+1}}}}},\end{split}$$ 于是 $$m=(((((1\cdot 2+1)\cdot 2+1)\cdot 4+1)\cdot 2+1)\cdot 2+1)\cdot 2=238.$$