每日一题[1291]二次型

已知 $a,b,c$ 是非负实数，且 $a^2+b^2+c^2+ab+\dfrac 23ac+\dfrac 43bc=1$，求 $a+b+c$ 的取值范围．

答案    $\left[1,\sqrt{\dfrac{23}{15}}\right]$．

解析    根据题意，有

$$\left(a+\dfrac b2+\dfrac c3\right)^2+\dfrac 34\left(b+\dfrac {2c}3\right)^2+\dfrac 59c^2=1,$$ 令 $$\begin{cases} x=a+\dfrac 12b+\dfrac 13c,\\ y=\dfrac{\sqrt 3}2b+\dfrac{1}{\sqrt 3}c,\\ z=\dfrac{\sqrt 5}3c,\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases} a=x-\dfrac{y}{\sqrt 3},\\ b=\dfrac{2y}{\sqrt 3}-\dfrac{2z}{\sqrt 5},\\ c=\dfrac{3z}{\sqrt 5},\end{cases}$$ 则 $$a+b+c=x+\dfrac{y}{\sqrt 3}+\dfrac{z}{\sqrt 5},$$ 其中 $$x^2+y^2+z^2=1.$$ 一方面，有 $$x+\dfrac{y}{\sqrt 3}+\dfrac z{\sqrt 5}\leqslant \sqrt{1+\dfrac 13+\dfrac 15}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\dfrac{23}{15}},$$ 等号当 $$\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{\dfrac{15}{23}},\sqrt{\dfrac{5}{23}},\sqrt{\dfrac{3}{23}}\right)$$ 时，即 $$(a,b,c)=\left(\sqrt{\dfrac{20}{69}},\sqrt{\dfrac{16}{345}},\sqrt{\dfrac{27}{115}}\right)$$ 时取得． 另一方面，有 $$(a+b+c)^2\geqslant a^2+b^2+c^2+ab+\dfrac 23ac+\dfrac 43bc=1,$$ 等号当 $(a,b,c)=(1,0,0)$ 时取得． 综上所述，所求取值范围是 $\left[1,\sqrt{\dfrac{23}{15}}\right]$．