已知 $a,b,c$ 是非负实数，且 $a^2+b^2+c^2+ab+\dfrac 23ac+\dfrac 43bc=1$，求 $a+b+c$ 的取值范围．
答案 $\left[1,\sqrt{\dfrac{23}{15}}\right]$．
解析 根据题意，有\[\left(a+\dfrac b2+\dfrac c3\right)^2+\dfrac 34\left(b+\dfrac {2c}3\right)^2+\dfrac 59c^2=1,\]令\[\begin{cases} x=a+\dfrac 12b+\dfrac 13c,\\ y=\dfrac{\sqrt 3}2b+\dfrac{1}{\sqrt 3}c,\\ z=\dfrac{\sqrt 5}3c,\end{cases}\]于是\[\begin{cases} a=x-\dfrac{y}{\sqrt 3},\\ b=\dfrac{2y}{\sqrt 3}-\dfrac{2z}{\sqrt 5},\\ c=\dfrac{3z}{\sqrt 5},\end{cases}\]则\[a+b+c=x+\dfrac{y}{\sqrt 3}+\dfrac{z}{\sqrt 5},\]其中\[x^2+y^2+z^2=1.\]一方面，有\[x+\dfrac{y}{\sqrt 3}+\dfrac z{\sqrt 5}\leqslant \sqrt{1+\dfrac 13+\dfrac 15}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\dfrac{23}{15}},\]等号当\[\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{\dfrac{15}{23}},\sqrt{\dfrac{5}{23}},\sqrt{\dfrac{3}{23}}\right)\]时，即\[(a,b,c)=\left(\sqrt{\dfrac{20}{69}},\sqrt{\dfrac{16}{345}},\sqrt{\dfrac{27}{115}}\right)\]时取得． 另一方面，有\[(a+b+c)^2\geqslant a^2+b^2+c^2+ab+\dfrac 23ac+\dfrac 43bc=1,\]等号当 $(a,b,c)=(1,0,0)$ 时取得． 综上所述，所求取值范围是 $\left[1,\sqrt{\dfrac{23}{15}}\right]$．