每日一题[1271]抓住指数

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ ，记 $n^{{(n+1)}^{n+2}}$ 的末位数字为 $a_n$ ，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和的末位数字是（）

A． $3$

B． $5$

C． $7$

D． $9$

答案 C．

解析我们熟知

m^{k + 4} \equiv m^{k} (\mod 4),

$m^{k+4}\equiv m^k\pmod 4,$ 其中

m, k \in N

$m,k\in\mathbb N$ ，而在模

4

$4$ 的意义下，有

(n + 1)^{n + 2} \equiv {\begin{cases} 0, & n \equiv 1 (\mod 2) \\ 1, & n \equiv 0 (\mod 2), \end{cases}

$(n+1)^{n+2}\equiv \begin{cases} 0,&n\equiv 1\pmod 2\\ 1,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}$ 于是

{a_{n}}

$\{a_n\}$ 是以

10

$10$ 为周期的数列，且前

10

$10$ 项为

1, 2, 1, 4, 5, 6, 1, 8, 1, 0,

$1,2,1,4,5,6,1,8,1,0,$ 因此数列

{a_{n}}

$\{a_n\}$ 的前

2018

$2018$ 项和为

29 \cdot 202 - 1 = 5857,

$29\cdot 202-1=5857,$ 其末位数字为

7

$7$ ．

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