每日一题[1266]比大小

已知 $a=1.01^{100.3}$ ， $b=1.1^{10.5}$ ， $c={\rm e}$ ，用 $<$ 将 $a,b,c$ 连接起来的结果是_______．

答案 $a<c<b$ ．

解析即比较

a = 100.3 \ln 1.01, b = 10.5 \ln 1.1, c = 1

$a=100.3\ln 1.01,b=10.5\ln 1.1,c=1$ 的大小．考虑到当

x > 1

$x>1$ 时，有

\frac{2 (x - 1)}{x + 1} < \ln x < \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x}),

$\dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),$ 于是

0.99801 < a < 0.998035 < 1 < b < 1.00227.

$0.99801<a<0.998035<1<b<1.00227.$ 因此所求结果为

a < c < b

$a<c<b$ ．

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