每日一题[1266]比大小

已知 $a=1.01^{100.3}$，$b=1.1^{10.5}$，$c={\rm e}$，用 $<$ 将 $a,b,c$ 连接起来的结果是_______．

答案    $a<c<b$．

解析    即比较

$$a=100.3\ln 1.01,b=10.5\ln 1.1,c=1$$ 的大小．考虑到当 $x>1$ 时，有 $$\dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),$$ 于是 $$0.99801<a<0.998035<1<b<1.00227.$$ 因此所求结果为 $a<c<b$．