每日一题[1261]调和分割

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$a>b>0$，其离心率 $e=\dfrac12$，过椭圆 $E$ 内一点 $P(1,1)$ 的两条直线分别与椭圆交于点 $A,C$ 和 $B,D$，且满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{PD}$，其中 $\lambda$ 为实数，当点 $C$ 恰为椭圆的右顶点时，对应的 $\lambda=\dfrac57$．

1、求椭圆的方程；

2、当 $\lambda$ 变化时，直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；否则，请说明理由．

解析

1、当点 $C$ 恰为椭圆的右顶点时，对应的 $\lambda=\dfrac57$，此时点 $P,C,A$ 的坐标分别为

$$(1,1),(a,0),\left(\dfrac{12}{7}-\dfrac{5}{7}a,\dfrac{12}{7}\right),$$ 将 $A$ 点坐标代入椭圆方程解得 $a=2$，又因为离心率 $$e=\dfrac ca=\dfrac12,$$ 所以 $c=1$，所以 $$b=\sqrt{a^2-c^2},$$ 所以所求椭圆方程为 $$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1.$$

2、设点 $M$ 在直线 $AC$ 上，点 $N$ 在直线 $BD$ 上，并且满足

$$\left(\dfrac{AP}{PC}=\dfrac {AM}{MC}=\lambda\right)\land\left( \dfrac{BP}{PD}=\dfrac{BN}{ND}=\lambda\right),$$ 则易知 $M,P$ 调和分割 $A,C$，$N,P$ 调和分割 $B,D$，于是可知点 $M,N$ 均在点 $P$ 关于椭圆的极线方程上，即在直线 $$l:\dfrac x4+\dfrac y3=1,$$ 又由于 $AB\parallel CD$，易证得 $l\parallel AB$，所以直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 为定值 $-\dfrac34$．