每日一题[1260]兵分两路

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$a_i\in \{0,1\}$（$i=1,2,\cdots,n$）且 $a_n=1$，设 $M$ 是所有形如

$$0.\overline{a_1a_2\cdots a_n}_{(10)}$$ 的小数组成的集合，$S_n$ 是集合 $M$ 中的所有元素之和，$T_n$ 是集合 $M$ 中元素的个数，则 $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=$ （       ）

A．$\dfrac 19$

B．$\dfrac 1{18}$

C．$\dfrac 1{27}$

D．$\dfrac1{10}$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$T_n=2^{n-1},$$ 且 $$S_n=(0.1+0.01+\cdots+0.\underbrace{00\cdots 0}_{n-2}1)\cdot 2^{n-2}+0.\underbrace{00\cdots 0}_{n-1}1,$$ 于是 $$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac 19\cdot 2^{n-2}}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{18}.$$