每日一题[1258]存在与恒成立

已知 $m$ 是实数，函数 $f(x)={\rm e}^{x+1}-ma$，$g(x)=a{\rm e}^x-x$．若存在实数 $a$，使得 $f(x)\leqslant g(x)$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$

B．$\left[-\dfrac{1}{2{\rm e}},0\right)$

C．$\left[-\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$

D．$\left[-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$

答案    C．

解析    根据题意，有 $$\forall x\in\mathbb R,{\rm e}^{x+1}-ma\leqslant a{\rm e}^x-x,$$ 也即 $$\forall x\in\mathbb R,(a-{\rm e}){\rm e}^x-x+ma\geqslant 0,$$ 记不等式左侧函数为 $\varphi(x)$．

情形一     $a\leqslant {\rm e}$．此时 $$\varphi(ma+1)=(a-{\rm e}){\rm e}^{ma+1}-1<0,$$ 不符合题意．

情形二     $a>{\rm e}$．此时函数 $\varphi(x)$ 的导函数 $$\varphi'(x)=(a-{\rm e}){\rm e}^x-1,$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&(-\infty,-\ln (a-{\rm e})&-\ln(a-{\rm e})&(-\ln(a-{\rm e}),+\infty)\\ \hline \varphi'(x)&-&0&+\\ \hline \varphi(x)&\searrow&\min&\nearrow\\ \hline \end{array}$$ 于是命题等价于 $$1+\ln(a-{\rm e})+ma\geqslant 0.$$ 接下来考虑 $$\exists a>{\rm e},1+\ln (a-{\rm e})+ma\geqslant 0,$$ 也即 $$\exists a>{\rm e},m\geqslant -\dfrac{1+\ln (a-{\rm e})}{a},$$ 设 $$\mu(x)=-\dfrac{1+\ln (x-{\rm e})}{x},$$ 其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{\ln(x-{\rm e})-\dfrac{{\rm e}}{x-{\rm e}}}{x^2},$$ 注意到分子部分单调递增，且有零点为 $x=2{\rm e}$，于是 $\mu(x)$ 的极小值，亦为最小值为 $$\mu(2{\rm e})=-\dfrac{1}{\rm e},$$ 因此 $m$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{\rm e},+\infty \right)$．