每日一题[1254]斯特瓦尔特定理

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$A=\dfrac{\pi}3$，已知 $D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $CD=2DB$，若 $AD=\dfrac{\sqrt{21}}3b$，则 $\dfrac{\sin B}{\sin C}=$ _______．

答案    $\dfrac 12$．

解析    应用余弦定理得

$$\begin{split} \cos\angle ADB=\dfrac{AD^2+BD^2-AB^2}{2\cdot AD\cdot BD}=\dfrac{\dfrac 73b^2+\dfrac 19a^2-c^2}{2\cdot \dfrac{\sqrt{21}}3b\cdot \dfrac 13a},\\ \cos\angle ADC=\dfrac{AD^2+CD^2-AC^2}{2\cdot AD\cdot CD}=\dfrac{\dfrac 73b^2+\dfrac 49a^2-b^2}{2\cdot \dfrac{\sqrt{21}}3b\cdot \dfrac 23a},\end{split}$$ 由于 $\angle ADB$ 和 $\angle ADC$ 互补，因此 $$\dfrac{\dfrac 73b^2+\dfrac 19a^2-c^2}{2\cdot \dfrac{\sqrt{21}}3b\cdot \dfrac 13a}+\dfrac{\dfrac 73b^2+\dfrac 49a^2-b^2}{2\cdot \dfrac{\sqrt{21}}3b\cdot \dfrac 23a}=0,$$ 化简，得 $$a^2+9b^2-3c^2=0.$$ 又根据余弦定理，有 $$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A=b^2+c^2-bc,$$ 代入上式可得 $$10b^2-bc-2c^2=0,$$ 解得 $$\dfrac bc=\dfrac 12,$$ 于是根据正弦定理 $$\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac bc=\dfrac 12.$$

备注    用类似的方法可以得到斯特瓦尔特定理，该定理断言在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为底边 $BC$ 上一点，则

$$AB^2\cdot \dfrac{DC}{BC}+AC^2\cdot \dfrac{BD}{BC}=AD^2+BD\cdot DC.$$