每日一题[1253]进阶放缩

已知函数 $f(x)={\rm e}^x$，对任意的实数 $x_1,x_2$（$x_1\ne x_2$），均有 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<|k|\cdot (f(x_1)+f(x_2))$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]\cup \left[\dfrac 12,+\infty\right)$．

解析    根据题意，有

$$\forall x_1>x_2,|k|\cdot (x_1-x_2)>\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{x_2}}{{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}},$$ 也即 $$\forall x_2>x_2,|k|\cdot (\ln x_1-\ln x_2)>\dfrac{x_1-x_2}{x_2+x_2},$$ 也即 $$\forall x>1,|k|\cdot \ln x-\dfrac{x-1}{x+1}>0,$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{|k|\cdot x^2+(2|k|-2)x+|k|}{x(1+x)^2},$$ 分析端点 $x=1$ 可得 $$|k|\geqslant \dfrac 12,$$ 于是实数 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]\cup \left[\dfrac 12,+\infty\right)$．