已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，则 $a+\sqrt b+\sqrt[3]c$ 的最大值是_______．
答案 $\dfrac {45+8\sqrt 3}{36}$
解析 题目等价于新问题
已知 $a,b,c>0$，且 $a+b^2+c^3=1$，求 $a+b+c$ 的最大值．
新问题的解 记 $m=a+b+c$，则\[\begin{split} m&=b-b^2+c-c^3+1\\ &=b(1-b)+\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2c^2(1-c^2)(1-c^2)}+1\\ &\leqslant \dfrac 14+\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 23\right)^3}+1\\ &=\dfrac {45+8\sqrt 3}{36},\end{split}\]等号当\[(a,b,c)=\left(\dfrac{27-4\sqrt 3}{36},\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right)\]时取得，因此所求的最大值为 $\dfrac {45+8\sqrt 3}{36}$．