每日一题[1244]分而治之

已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，则 $a+\sqrt b+\sqrt[3]c$ 的最大值是_______．

答案    $\dfrac {45+8\sqrt 3}{36}$

解析    题目等价于新问题

已知 $a,b,c>0$，且 $a+b^2+c^3=1$，求 $a+b+c$ 的最大值．

新问题的解    记 $m=a+b+c$，则

$$\begin{split} m&=b-b^2+c-c^3+1\\ &=b(1-b)+\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2c^2(1-c^2)(1-c^2)}+1\\ &\leqslant \dfrac 14+\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 23\right)^3}+1\\ &=\dfrac {45+8\sqrt 3}{36},\end{split}$$ 等号当 $$(a,b,c)=\left(\dfrac{27-4\sqrt 3}{36},\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right)$$ 时取得，因此所求的最大值为 $\dfrac {45+8\sqrt 3}{36}$．