每日一题[1251]绝对值函数

已知 $n$ 是正整数，$x\in\mathbb R$，求证：$\displaystyle\sum_{i=1}^n|ix-1|\geqslant\sqrt{2n^2+2n}-n-1$．

解析    记不等式左侧函数为 $f(x)$，根据题意，函数 $f(x)$ 的最小值 $$\begin{split} m&=\min_{1\leqslant k\leqslant n,k\in\mathbb N} f\left(\dfrac 1k\right)\\ &=\min_{1\leqslant k\leqslant n,k\in\mathbb N}\dfrac{(k-1)+\cdots+1+0+1+\cdots+(n-k)}{k}\\ &=\min_{1\leqslant k\leqslant n,k\in\mathbb N} \left\{k+\dfrac{n^2+n}{2k}-(n+1)\right\}\\ &\geqslant \sqrt {2n^2+2n}-(n+1),\end{split}$$ 等号当 $$k^2=\dfrac {n^2+n}2$$ 时取得．

备注    事实上，等号是可以取得的．如 $$(n,k)=(1,1),(8,6),\cdots.$$