每日一题[1250]扩充概念

如果自然数 $a$ 的各位数字之和为 $7$，那么称 $a$ 为吉祥数，将所有吉祥数从小大到大排成一列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$，若 $a_n=2005$，则 $a_{5n}=$ _______．

答案    $52000$．

解析    先计算 $n$ 的值．以 $0$ 开头的 $4$ 位吉祥数数（这里扩充了 $4$ 位数，即将不足 $4$ 位的数前面补 $0$ 凑够 $4$ 位）有 ${\rm C}_9^2=36$ 个，以 $1$ 开头的 $4$ 位吉祥数数有 ${\rm C}_8^2=28$ 个，而 $2005$ 是以 $2$ 开头的第一个 $4$ 位吉祥数．因此

$$n=36+28+1=65,$$ 所需要求的数为 $a_{325}$． 考虑以 $0$ 开头的 $6$ 位吉祥数有 ${\rm C}_{11}^4=330$ 个，因此 $$a_{330}=070000,$$ 进而 $$\begin{split} a_{329}&=061000,\\ a_{328}&=060100,\\ a_{327}&=060010,\\ a_{326}&=060001,\\ a_{325}&=052000,\end{split}$$ 也即所求数位 $52000$．