每日一题[1236]狐假虎威

已知 $a,b>0$，且 $a+b\geqslant 3$，则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值是_______．

答案    $3$．

解析    利用拉格朗日乘数法，令

$$F(a,b,\lambda)=2a^2+b^2+\dfrac {28}{a}+\dfrac 1b+\lambda (a+b-3),$$ 则 $$\begin{cases} 4a-\dfrac{28}{a^2}+\lambda =0,\\ 2b-\dfrac{1}{b^2}+\lambda =0,\\ a+b-3=0,\end{cases}$$ 解得 $$(a,b,\lambda)=(2,1,-1).$$ 考虑切线放缩，有 $$\begin{cases} 2a^2+\dfrac{28}{a}\geqslant a+20,\\ b^2+\dfrac 1b\geqslant b+1,\end{cases}$$ 于是 $$m\geqslant (a+b)+21\geqslant 24,$$ 等号当且仅当 $(a,b)=(2,1)$ 时取得．因此所求的最小值为 $3$．