每日一题[1234]化椭为圆

已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$，$A,B$ 是椭圆上两点，且 $A$ 在第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 的面积记为 $S$．

1、若点 $A$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$，求 $S$ 的最大值；

2、设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，且 $3y_1+y_2=0$，求当 $S$ 取得最大值时，直线 $AB$ 的方程．

解法一

1、$S$ 取得最大值时，椭圆在 $B$ 点处的切线与 $OA$ 平行．设 $B(x_0,y_0)$，则根据椭圆的垂径定理，有

$$\dfrac{y_0}{x_0}\cdot \dfrac 32=-\dfrac 34,$$ 于是 $$y_0=-\dfrac 12x_0,$$ 结合椭圆方程可得 $$(x_0,y_0)=\left(-\sqrt 3,\dfrac{\sqrt 3}2\right),\left(\sqrt 3,-\dfrac{\sqrt 3}2\right),$$ 此时根据面积坐标公式，$S$ 的最大值为 $$\dfrac 12\left|1\cdot \dfrac{\sqrt 3}2-\left(-\sqrt 3\right)\cdot \dfrac 32\right|=\sqrt 3.$$

2、记 $y_1=t$，$y_2=-3t$，其中 $0<t\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3$，则

$$\begin{split} x_1&=2\sqrt{1-\dfrac 13t^2},\\ x_2&=\pm 2\sqrt{1-\dfrac 13(-3t)^2}=\pm 2\sqrt{1-3t^2},\end{split}$$ 因此 $$\begin{split} S&\leqslant\dfrac 12\left(2t\sqrt{1-3t^2}+6t\sqrt{1-\dfrac 13t^2}\right)\\ &=t\sqrt{1-3t^2}+t\sqrt{9-3t^2},\end{split}$$ 记 $$f(x)=\sqrt{x(1-3x)}+\sqrt{x(9-3x)},x\in\left(0,\dfrac 13\right],$$ 则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{1-6x}{2\sqrt{x(1-3x)}}+\dfrac{9-6x}{2\sqrt{x(9-3x)}},$$ 方程 $f'(x)=0$ 即 $$(9-6x)^2\cdot(1-3x)=(1-6x)^2\cdot (9-3x),$$ 也即 $$240x-72=0,$$ 解得 $$x=\dfrac{3}{10}.$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&\left(0,\dfrac 3{10}\right)&\dfrac 3{10}&\left(\dfrac 3{10},\dfrac 13\right]\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&\nearrow &\sqrt 3&\searrow \\ \hline \end{array}$$ 因此当 $S$ 取得最大值时，$t=\sqrt{\dfrac{3}{10}}$，此时 $A\left(3\sqrt{\dfrac 25},\sqrt{\dfrac 3{10}}\right)$，$B\left(\sqrt{\dfrac 25},-3\sqrt{\dfrac 3{10}}\right)$，于是直线 $AB$ 的斜率为 $\sqrt 3$，进而其方程为 $$y=\sqrt 3x-\dfrac{\sqrt{30}}3.$$

解法二

1、作伸缩变换 $(x',y')=\left(x,\dfrac 2{\sqrt 3}y\right)$，则椭圆变为圆

$$x'^2+y'^2=4,$$ 此时 $\triangle OA'B'$ 的面积最大值为 $$\dfrac 12\cdot 2^2=2,$$ 回到原坐标系，有 $\triangle OAB$ 的面积最大值为 $$2\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=\sqrt 3.$$

2、设 $AB:x=my+n$，与椭圆方程联立可得

$$\left(\dfrac{m^2}4+\dfrac 13\right)y^2+\dfrac{mn}2y+\dfrac {n^2}4-1=0,$$ 由韦达定理，结合 $\dfrac {y_2}{y_1}=-3$，可得 $$\dfrac{m^2n^2}4=\left(-3-\dfrac 13+2\right)\cdot\left(\dfrac {m^2}4+\dfrac 13\right)\left(\dfrac {n^2}4-1\right),$$ 解得 $$n^2=\dfrac{3m^2+4}{3m^2+1}.$$ 而 $$\Delta=\dfrac{m^2n^2}4-4\left(\dfrac {m^2}4+\dfrac 13\right)\left(\dfrac {n^2}4-1\right)=\dfrac{4m^2+3m^4}{1+3m^2},$$ 此时 $$\begin{split} S&\leqslant \dfrac 12\cdot |n|\cdot |y_1-y_2|\\ &=\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{n^2\cdot \Delta}}{\dfrac{m^2n^2}4}\\ &=\dfrac{6}{3|m|+\dfrac 1{|m|}}\\ &\leqslant \sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $m^2=\dfrac 13$ 且 $n\geqslant 0$ 时取得，此时 $$n^2=\dfrac 52,$$ 因此当 $S$ 取得最大值时直线 $AB$ 的方程为 $$x=\dfrac{1}{\sqrt 3}y+\sqrt{\dfrac 52},$$ 即 $$y=\sqrt 3x-\dfrac{\sqrt{30}}2.$$