每日一题[1228]三脚架君

已知正四面体 $P-ABC$ 中，$D,E,F$ 分别在棱 $PA,PB,PC$ 上，若 $PE\ne PF$，且 $DE=DF=\sqrt 7$，$EF=2$，则四面体 $P-DEF$ 的体积为[[nn]]．

答案    $\dfrac{\sqrt{17}}8$

解析    设 $PD=x$，$PE=y$，$PF=z$，且 $y>z$，则根据余弦定理，有

$$\begin{cases} x^2+y^2-xy=7,\\ y^2+z^2-yz=4,\\ z^2+x^2-zx=7,\end{cases}$$ 第一、三式相减，可得 $$x=y+z,$$ 于是 $$\begin{cases} y^2+yz+z^2=7,\\ y^2-yz+z^2=4,\end{cases}$$ 从而 $$\begin{cases} yz=\dfrac 32,\\ y+z=\sqrt{\dfrac{17}2},\end{cases}$$ 因此所求四面体 $P-DEF$ 的体积 $$V=\dfrac{\sqrt 2}{12}\cdot xyz=\dfrac{\sqrt 2}{12}\cdot \dfrac 32\cdot \sqrt{\dfrac{17}2}=\dfrac{\sqrt{17}}8.$$