每日一题[1224]隔三差五

若 $(1+x+x^2)^{1000}$ 的展开式为 $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2000}x^{2000}$，则 $a_0+a_3+a_6+a_9+\cdots+a_{1998}$ 的值是（       ）

A．$3^{333}$

B．$3^{666}$

C．$3^{999}$

D．以上答案均不正确

答案    C．

解析    设

$$\begin{split} A&=a_0+a_3+a_6+a_9+\cdots+a_{1998},\\ B&=a_1+a_4+a_7+a_{10}+\cdots+a_{1999},\\ C&=a_2+a_5+a_8+a_{11}+\cdots+a_{2000},\end{split}$$ 记 $\omega=\cos\dfrac{2\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{2\pi}3$，则分别令 $x=1,\omega,\omega^2$，则 $$\begin{split} (1+1+1^2)^{1000}&=A+B+C,\\ (1+\omega+\omega^2)^{1000}&=A+B\omega+C\omega^2,\\ (1+\omega^2+\omega)^{1000}&=A+B\omega^2+C\omega,\end{split}$$ 也即 $$\begin{split} A+B+C&=3^{1000},\\ A+B\omega+C\omega^2&=0,\\ A+B\omega^2+C\omega&=0,\end{split}$$ 三式相加，可得 $$3A=3^{1000},$$ 于是 $$A=3^{999}.$$