每日一题[1225]曲径通幽

如图，一个无盖圆台容器的上、下底面半径分别为 $1$ 和 $2$，高为 $\sqrt 3$，四边形 $ABCD$ 是经过轴的截面，$AD,BC$ 是圆台的两条母线，一只蚂蚁从 $A$ 处沿容器侧面（含边沿线）爬到 $C$ 处，最短路程等于(       )

A．$2\sqrt 5$

B．$\pi+2$

C．$\dfrac{\pi}3+2\sqrt 3$

D．$\dfrac{4\pi}3+2\sqrt 3$

答案    C．

解析    如图，将圆台补为圆锥，设圆锥的顶点为 $O$，则 $OC=2$，于是圆台的侧面展开图为内径为 $2$，外径为 $4$，圆心角为 $180^\circ$ 的扇环．

将圆台的侧面从 $CB$ 开始展开到 $EF$，设 $A_1$ 为 $A$ 在展开图中的位置，则 $A_1C$ 有一部分不在扇环上，因此蚂蚁必然先到达上底面的某点 $P$，然后再沿边沿线到达 $C$．设 $P$ 在展开图中的位置为 $Q$，且 $\angle A_1OQ=\theta$，其中 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则此时的蚂蚁行进的最短路程为 $$\begin{split} A_1Q+\overparen{QC}&=\sqrt{OA_1^2+OQ^2-2\cdot OA_1\cdot OQ\cdot \cos\theta}+OC\cdot \left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)\\ &=\sqrt{20-16\cos\theta}-2\theta+\pi,\end{split}$$ 设 $$f(x)=\sqrt{20-16\cos x}-2x+\pi,$$ 则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{8\sin x}{\sqrt{20-16\cos x}}-2.$$ 解方程 $$\dfrac{8\sin x}{\sqrt{20-16\cos x}}-2=0,$$ 即 $$4(1-\cos^2x)=5-4\cos x,$$ 可得 $$\cos x=\dfrac 12,$$ 于是 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值为 $$f\left(\dfrac{\pi}3\right)=2\sqrt 3+\dfrac{\pi}3.$$

备注    所求得的路径最短的证明： 考虑到 $A_1Q$ 是内圆的切线，设从 $A_1$ 到 $C$ 的路径与 $A_1Q$ 的延长线交于 $Q'$，则从 $A_1$ 到 $Q'$ 的路径最短为 $A_1Q'$，从 $Q'$ 到 $C$ 的最短距离为 $Q'C$，考虑 $QQ'C$ 是弧 $QC$ 外的折线，于是其长度大于弧 $OC$，因此所求得的路径最短．