每日一题[1223]内心表达

已知点 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，且 $AB=3$，$AC=\sqrt{13}$，$\angle ABC=60^\circ$，则 $\overrightarrow {AI}\cdot \overrightarrow{BC}=$ _______．

答案    $8-2\sqrt{13}$．

解析    根据余弦定理，有

$$AC^2=BA^2+BC^2-2\cdot BA\cdot BC\cdot \cos \angle ABC,$$ 于是 $$13=9+BC^2-3\cdot BC,$$ 解得 $$BC=4.$$ 于是由三角形内心的向量表达，可得 $$4\overrightarrow {IA}+\sqrt{13}\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,$$ 利用换底公式整理可得 $$\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC},$$ 于是 $$\begin{split} \overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}&=\left(\overrightarrow {BI}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\ &=\left(\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\ &=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\ &=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\cdot 6+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\cdot 16\\ &=8-2\sqrt{13}.\end{split}$$