每日一题[1222]三角与几何

在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC=90^\circ$,以 $AB$ 为一边向 $\triangle ABC$ 外作等边三角形 $ABD$,$\angle BCD=2\angle ACD$,$\overrightarrow {AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$,则 $\lambda+\mu=$ _______.

ph1634-p12318

答案    $\dfrac {1-\sqrt 3}2$

解法一    如图建系,设 $A(0,0)$,$B(0,2)$,$C(-m,0)$($m>0$),$D(\sqrt 3,1)$,$\angle DCA=\theta$,则 $\angle BCA=3\theta$.

根据三倍角公式,有\[\tan3\theta=\dfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta},\]于是\[\dfrac 2m=\dfrac{3\cdot \dfrac{1}{\sqrt 3+m}-\left(\dfrac{1}{\sqrt 3+m}\right)^3}{1-3\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt 3+m}\right)^2},\]也即\[\dfrac 2m=\dfrac{8+6\sqrt 3m+3m^2}{m\left(6+3\sqrt 3m+m^2\right)},\]解得 $m=2$,于是\[\lambda=\dfrac 12,\mu=-\dfrac{\sqrt 3}2,\]从而\[\lambda+\mu=\dfrac{1-\sqrt 3}2.\]

解法二    如图,作 $D$ 关于 $AC$ 的对称点 $E$,连接 $EA,EC,ED$.

根据题意,$\triangle ADE$ 也是等边三角形,且 $\angle DCE=\angle BCD$,于是\[\dfrac{CD}{\sin\angle CBD}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCD}=\dfrac{DE}{\sin\angle DCE}=\dfrac{CD}{\sin \angle DEC},\]从而 $B,C,E,D$ 四点共圆,因此 $\angle BCA=45^\circ$,进而 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形,解得\[\lambda=\dfrac 12,\mu=-\dfrac{\sqrt 3}2,\]从而\[\lambda+\mu=\dfrac{1-\sqrt 3}2.\]

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