每日一题[1221]均值不等式

已知 $a,b,c>0$，且 $abc=\dfrac 14$，求证：$(b+1)(c+1)(a+b)(a+c)>4$．

解法一    由均值不等式可得

$$\begin{split} (b+1)(c+1)(a+b)(a+c)&\geqslant 2\sqrt b\cdot 2\sqrt c\cdot 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt {ac}\\ &=16abc\\ &=\dfrac 12,\end{split}$$ 取等条件为 $$a=b=c=1,$$ 无法取得．因此题中不等式得证．

解法二    根据题意，有

$$bc=\dfrac{1}{4a},$$ 于是 $$\begin{split} LHS&=[bc+(b+c)+1]\cdot [a^2+a(b+c)+bc]\\ &\geqslant \left(\dfrac{1}{4a}+2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4a}}+1\right)\cdot \left(a^2+a\cdot 2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4a}}+\dfrac{1}{4a}\right)\\ &=\left[\left(\dfrac{1}{2\sqrt a}+1\right)\cdot \left(a+\dfrac{1}{2\sqrt a}\right)\right]^2\\ &=\left(a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}\right)^2,\end{split}$$ 考虑到 $$a+\dfrac{1}{4a}\geqslant 1,$$ 等号当且仅当 $a=\dfrac 12$ 时取得，且 $$\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}\geqslant 1,$$ 等号当且仅当 $a=1$ 时取得，因此有 $$a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{\sqrt a}2+\dfrac{1}{2\sqrt a}>2,$$ 原命题得证．

备注    事实上，函数

$$f(x)=x+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{\sqrt x}2+\dfrac{1}{2\sqrt x}$$ 的最小值约为 $2.0483$，约在 $x=0.6273$ 处取得．