每日一题[1220]分类估计

已知 $x,y$ 为实数,且满足 $\begin{cases} (x-1)^3-2017(x-1)=-1,\\ (y-1)^3-2017(y-1)=1,\end{cases}$ 则 $x+y$ 的值(       )

A.一定等于 $2$

B.一定小于 $92$

C.一定小于 $90$

D.一定大于 $-92$

解    BD.

设函数\[f(t)=t^3-2017t,\]则 $x-1$ 为直线 $y=-1$ 与该函数图象的公共点的横坐标,有 $3$ 个可能的取值,记为 $a,b,c$ 且 $a<b<c$,则根据奇函数的性质,$y-1$ 的可能取值为 $-a,-b,-c$.由\[\sqrt{2017}=44.91\cdots,\]不难得到\[\begin{cases} -45<a<-44,\\ 0<b<1,\\ 44<c<45.\end{cases}\]

情形一    $x-1,y-1$ 互为相反数,此时\[x+y=2.\]

情形二    $x-1,y-1$ 不互为相反数,则\[\begin{split} -46<a-b<-44,\\ -90<a-c<-88,\\ -45<b-c<-43,\end{split}\] 综上所述,$x+y$ 的值一定小于 $92$ 且一定大于 $-92$,可以不等于 $2$,也可以不小于 $90$.

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